SEC2_GYM · Analysis · CALC.INTEGRAL.CONCEPT

Integral als Akkumulation und Fläche

Das bestimmte Integral misst vorzeichenbehaftete Akkumulation und kann als Flächenbilanz verstanden werden.

Intuition

Erst verstehen, dann verdichten.

Zerlege den Bereich in viele schmale Rechtecke. Wenn ihre Breite gegen null geht, nähert ihre Flächensumme das Integral an.

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Riemann-Summef(x) = x, n = 8

Kurve fexakte Fläche = 88 Rechtecke (rechter Rand) = 9

Rechtssumme: jedes der 8 Rechtecke ist so hoch wie die Kurve am rechten Rand seines Streifens (Breite Δx = 0.5). Deshalb bleibt zwischen Rechteckkante und Kurve ein sichtbarer Saum: R₈ = 9 gegenüber dem exakten Wert 8 — 1 zu viel. Mit mehr Streifen schrumpft dieser Saum gegen null — das ist der Übergang zum Integral.

Formale Sicht

ist der Grenzwert geeigneter Riemann-Summen. Der Hauptsatz verbindet Ableitung und Integral.

Warum funktioniert das?

Integration addiert infinitesimale Beiträge und ist damit das natürliche Gegenstück zur lokalen Änderungsrate der Ableitung.