SEC2_GYM · Analysis · CALC.DERIV.CONCEPT

Ableitung als lokale Änderungsrate

Die Ableitung misst die momentane Änderungsrate — geometrisch die Steigung der Tangente.

Diese Kompetenz trainieren →

Intuition

Erst verstehen, dann verdichten.

Eine Sekante durch zwei nahe Punkte wird zur Tangente, wenn der Abstand zwischen den Punkten gegen null geht.

Darstellungen wechseln

Sekante wird Tangentef(x) = x², x = 1

Kurve fSekante Δx = 1.2Sekante Δx = 0.6Sekante Δx = 0.2Tangente, Steigung 2Berührpunkt

Alle drei Sekanten laufen durch den Punkt (1, 1). Wird Δx kleiner (1.2 → 0.6 → 0.2), wandert die Sekantensteigung 3.2 → 2.6 → 2.2 — auf die Tangentensteigung f′(1) = 2 zu. Genau dieser Grenzwert ist die Ableitung.

Formale Sicht

, sofern dieser Grenzwert existiert.

Warum funktioniert das?

Der Differenzenquotient ist die mittlere Änderungsrate über ein Intervall. Der Grenzübergang macht daraus eine lokale Rate an einem Punkt.