UNI_FOUNDATION · Lineare Algebra · LA.GAUSSIAN

Gauss-Elimination

Das Gauss-Verfahren löst lineare Gleichungssysteme durch elementare Zeilenumformungen.

Intuition

Erst verstehen, dann verdichten.

Jede Zeilenoperation ersetzt das System durch ein äquivalentes System mit derselben Lösungsmenge, aber immer einfacherer Struktur.

Darstellungen wechseln

Matrix als AbbildungA = [1 0; 0 1], det A = 1

AusgangsgitterBildgitter unter ABild des Einheitsquadrats, Fläche 1î ↦ (1, 0)ĵ ↦ (0, 1)

A schickt î auf (1, 0) und ĵ auf (0, 1); das feine Ausgangsgitter geht in das goldene Bildgitter über. Das Einheitsquadrat (Fläche 1) wird zum Parallelogramm mit Fläche |det A| = 1 — der Betrag der Determinante ist genau dieser Flächenfaktor.

Formale Sicht

Erlaubt sind Zeilentausch, Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl und Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen. Ziel ist Zeilenstufenform.

Warum funktioniert das?

Die Zeilenoperationen entsprechen reversiblen Transformationen der Gleichungen und bewahren deshalb die Lösungsmenge.